雙曲余弦的定義是cosh(x)=(e^x+e^-x)/2
若只在實數(shù)域內(nèi)討論,容易證出：
對任意實數(shù)x,有cosh(x)>=1
即,雙曲余弦的值域為{x|x>=1}
因此,它的反函數(shù)定義域為{x|x>=1}由于雙曲余弦不是一一映射，為了保證其反函數(shù)的單值性，必須對雙曲余弦的定義域加以限制，使其在新的定義域中是一一映射。若限制cosh(x)的定義域是{x|x>=0}則反雙曲余弦為ln(x+(x^2-1)^(1/2))；若限制cosh(x)的定義域是{x|x<=0}則反雙曲余弦為ln(x-(x^2-1)^(1/2))。理論上講二者皆可，但是習(xí)慣上是取前者。好比arccos(x)的值域要取在[0,pi]，而不是[-pi,0]，或是其他。