我們求二面角的平面角的常用方法有3類：
一、 直接法：其中包括定義法、垂線法、垂面法
定義法 ：步驟 ：
1、在二平面的棱上取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（經(jīng)常是端點(diǎn)和中點(diǎn)、如利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點(diǎn)）
2、過這個(gè)點(diǎn)分別在兩半平面內(nèi)做相棱的垂線,然后把兩條垂線放到一個(gè)三角形中考慮.（有時(shí)也經(jīng)常做兩條垂線的平行線,使它們在一個(gè)更理想的三角形中）.
說明：因?yàn)轭}目中所給的點(diǎn)或你能找到的特殊點(diǎn)分別向交線作垂線多半不交于一點(diǎn),所以這種情況很少,因此有必要引導(dǎo)學(xué)生探究其他方法.
垂線法：利用作（或找）面的垂線（線面垂直的判定和性質(zhì)）作平面角.
例1 銳二面角a-L-β,如圖（1）所示,過a面的一點(diǎn)P,向β面作垂線,垂足為B,再過B向這二面角的棱L作垂線,垂足C,連接PC.可用三垂線定理證明 PCB就是這兩個(gè)面的二面角
例2 鈍二面角a-L-β,如圖（2）所示,過a面的一點(diǎn)P,向β面作垂線,垂足為B,過B向這二面角的棱l作垂線,垂足C,連接PC.
則角 PCB為二面角a-L-β的平面角的補(bǔ)角.
說明：引導(dǎo)學(xué)生在具體題目中注意判斷二面角是鈍二面角還是銳二面角是解決問題的前提.
垂面法：（教材復(fù)習(xí)參考題二A組第10題提示）作二面角棱的垂面,則垂面與二面角形成的兩交線所成的角就是二面角的平面角.
說明：棱的垂面經(jīng)常不會(huì)直接給出,而是以點(diǎn)到面的距離的條件呈現(xiàn)的.這樣過此點(diǎn)所作的面的垂線是否落在半平面內(nèi),直接影響到所得到的兩射線所成的角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角.
例3 二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為 、4,到棱的距離為 ,則二面角的度數(shù)為（75°或165°）
解析：分兩種情況：銳二面角和鈍二面角
1. 當(dāng)二面角為銳二面角時(shí),過點(diǎn)P向a、β半平面引垂線,垂足落在半平面內(nèi),此時(shí)P點(diǎn)的棱的垂面與兩半平面的交線所成的角為二面角的平面角.
2. 當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí),作平面 平面 ,作平面 平面 ,當(dāng)P點(diǎn)在二面角 內(nèi)時(shí),過點(diǎn)P向a、 兩半平面作垂線,垂足均落在半平面內(nèi),此時(shí)過P點(diǎn)且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角.
當(dāng)P點(diǎn)在二面角 內(nèi)時(shí),過點(diǎn)P向a、 兩半平面作垂線,垂足不能同時(shí)落在兩個(gè)半平面內(nèi),此時(shí)過P點(diǎn)且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角的補(bǔ)角.
二、 間接法：
面積射影定理：“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦.”
S射影面積＝S原圖形面積＊cos(兩個(gè)平面所成的二面角）
即cosθ=S射影圖/S原圖
(平面多邊形及其射影的面積分別是S原,S射影,它們所在平面所成銳二面角的為θ)
證明思路：因?yàn)樯溆熬褪菍⒃瓐D形的長度（三角形中稱高）縮放,所以寬度是不變的,又因?yàn)槠矫娑噙呅蔚拿娣e比=邊長的平方比.所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比.那么這個(gè)比值應(yīng)該是平面所成角的余弦值.在兩平面中作一直角三角形,并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線）,那么三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比,即為平面多邊形的面積比,而將這個(gè)比值放到該平面三角形中去運(yùn)算,即可.
說明：運(yùn)用這一方法可以解決求無棱二面角的大小問題,關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影（即找到從一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)向另一面的垂線）通常求兩個(gè)面內(nèi)的三角形的面積比較容易.
三、向量法：利用兩個(gè)平面的法向量M,N的夾角來求,這是高考中最有效的辦法不管有多難都可求出二面角的大小,也是最好的辦法.不過求出后要根據(jù)二面角的實(shí)際大小來判斷算出的結(jié)果與實(shí)際情況下的角是否相同利用空間向量求二面角的平面角步驟（設(shè)二面角平面角為θ）
1）建立空間直角坐標(biāo)系；
2）設(shè)平面 的法向量為N(X1,Y1,Z1),平面 法向量為M(X2,Y2,Z2)；
3）在 內(nèi)找兩條線L1,L2,讓N×L1=0,N×L2=0求出N的坐標(biāo),M也是如此求出；
4）然后利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值
說明：銳二面角時(shí),法向量的夾角即該二面角的平面角鈍二面角時(shí),法向量的夾角的補(bǔ)角為二面角的平面角
小結(jié)：
①方法一是基礎(chǔ),是基本概念的運(yùn)用；方法二、三是射影、向量與二面角定義的綜合,是拓展.只有理解掌握了第一類方法才能理解第二、三類方法.
②文科學(xué)生只需掌握第一類即可,對于理科學(xué)生掌握了上述三類方法,則有利于解決比較復(fù)雜的二面角問題.用代數(shù)的方法解決立體幾何問題是立體幾何的發(fā)展趨勢,兒向量是用代數(shù)的方法解決立體幾何問題的主要工具,故,學(xué)會(huì)用向量法解決立體幾何問題是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ).
