e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多,一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù).以e為底數(shù),許多式子都能得到簡(jiǎn)化,用它是最“自然”的,所以叫“自然對(duì)數(shù)”.
這里的e是一個(gè)數(shù)的代表符號(hào),而我們要說(shuō)的,便是e的故事.這倒叫人有點(diǎn)好奇了,要能說(shuō)成一本書(shū),這個(gè)數(shù)應(yīng)該大有來(lái)頭才是,至少應(yīng)該很有名吧?但是搜索枯腸,大部分人能想到的重要數(shù)字,除了眾人皆知的0及1外,大概就只有和圓有關(guān)的π了,了不起再加上虛數(shù)單位的i=√-1.這個(gè)e究竟是何方神圣呢?
在高中數(shù)學(xué)里,大家都學(xué)到過(guò)對(duì)數(shù)（logarithm）的觀念,也用過(guò)對(duì)數(shù)表.教科書(shū)里的對(duì)數(shù)表,是以10為底的,叫做常用對(duì)數(shù)（common logarithm）.課本里還簡(jiǎn)略提到,有一種以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù),稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)（natural logarithm）,這個(gè)e,正是我們故事的主角.不知這樣子說(shuō),是否引起你更大的疑惑呢?在十進(jìn)位制系統(tǒng)里,用這樣奇怪的數(shù)為底,難道會(huì)比以10為底更「自然」嗎?更令人好奇的是,長(zhǎng)得這么奇怪的數(shù),會(huì)有什么故事可說(shuō)呢?
這就要從古早時(shí)候說(shuō)起了.至少在微積分發(fā)明之前半個(gè)世紀(jì),就有人提到這個(gè)數(shù),所以雖然它在微積分里常常出現(xiàn),卻不是隨著微積分誕生的.那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢?一個(gè)很可能的解釋是,這個(gè)數(shù)和計(jì)算利息有關(guān).
我們都知道復(fù)利計(jì)息是怎么回事,就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息.但是本利和的多寡,要看計(jì)息周期而定,以一年來(lái)說(shuō),可以一年只計(jì)息一次,也可以每半年計(jì)息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；當(dāng)然計(jì)息周期愈短,本利和就會(huì)愈高.有人因此而好奇,如果計(jì)息周期無(wú)限制地縮短,比如說(shuō)每分鐘計(jì)息一次,甚至每秒,或者每一瞬間（理論上來(lái)說(shuō)）,會(huì)發(fā)生什么狀況?本利和會(huì)無(wú)限制地加大嗎?答案是不會(huì),它的值會(huì)穩(wěn)定下來(lái),趨近於一極限值,而e這個(gè)數(shù)就現(xiàn)身在該極限值當(dāng)中（當(dāng)然那時(shí)候還沒(méi)給這個(gè)數(shù)取名字叫e）.所以用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō),e可以定義成一個(gè)極限值,但是在那時(shí)候,根本還沒(méi)有極限的觀念,因此e的值應(yīng)該是觀察出來(lái)的,而不是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明得到的.
包羅萬(wàn)象的e
讀者恐怕已經(jīng)在想,光是計(jì)算利息,應(yīng)該不至于能講一整本書(shū)吧?當(dāng)然不,利息只是極小的一部分.令人驚訝的是,這個(gè)與計(jì)算復(fù)利關(guān)系密切的數(shù),居然和數(shù)學(xué)領(lǐng)域不同分支中的許多問(wèn)題都有關(guān)聯(lián).在討論e的源起時(shí),除了復(fù)利計(jì)算以外,事實(shí)上還有許多其他的可能.問(wèn)題雖然都不一樣,答案卻都殊途同歸地指向e這個(gè)數(shù).比如其中一個(gè)有名的問(wèn)題,就是求雙曲線y=1/x底下的面積.雙曲線和計(jì)算復(fù)利會(huì)有什么關(guān)系,不管橫看、豎看、坐著想、躺著想,都想不出一個(gè)所以然對(duì)不對(duì)?可是這個(gè)面積算出來(lái),卻和e有很密切的關(guān)聯(lián).我才舉了一個(gè)例子而已,這本書(shū)里提到得更多.
如果整本書(shū)光是在講數(shù)學(xué),還說(shuō)成是說(shuō)故事,就未免太不好意思了.事實(shí)上是,作者在探討數(shù)學(xué)的同時(shí),穿插了許多有趣的相關(guān)故事.比如說(shuō)你知道第一個(gè)對(duì)數(shù)表是誰(shuí)發(fā)明的嗎?是納皮爾（John Napier）.沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)?這很正常,我也是讀到這本書(shū)才認(rèn)識(shí)他的.重要的是要下一個(gè)問(wèn)題.你知道納皮爾花了多少時(shí)間來(lái)建構(gòu)整個(gè)對(duì)數(shù)表嗎?請(qǐng)注意這是發(fā)生在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初的事情,別說(shuō)電腦和計(jì)算機(jī)了,根本是什么計(jì)算工具也沒(méi)有,所有的計(jì)算,只能利用紙筆一項(xiàng)一項(xiàng)慢慢地算,而又還不能利用對(duì)數(shù)來(lái)化乘除為加減,好簡(jiǎn)化計(jì)算.因此納皮爾整整花了二十年的時(shí)間建立他的對(duì)數(shù)表,簡(jiǎn)直是匪夷所思吧!試著想像一下二十年之間,每天都在重復(fù)做同類(lèi)型的繁瑣計(jì)算,這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的.但納皮爾熬過(guò)來(lái)了,而他的辛苦也得到了報(bào)償——對(duì)數(shù)受到了熱切的歡迎,許多歐洲甚至中國(guó)的科學(xué)家都迅速采用,連納皮爾也得到了來(lái)自世界各地的贊譽(yù).最早使用對(duì)數(shù)的人當(dāng)中,包括了大名鼎鼎的天文學(xué)家刻卜勒,他利用對(duì)數(shù),簡(jiǎn)化了行星軌道的繁復(fù)計(jì)算.
在《毛起來(lái)說(shuō)e》中,還有許多我們?cè)谝话銛?shù)學(xué)課本里讀不到的有趣事實(shí).比如第一本微積分教科書(shū)是誰(shuí)寫(xiě)的呢?（假如你曾受微積分課程之苦,也會(huì)想知道誰(shuí)是「始作俑者」吧?」）是羅必達(dá)先生.對(duì)啦,就是羅必達(dá)法則（L'Hospital's Rule）的那位羅必達(dá).但是羅必達(dá)法則反倒是約翰．伯努利先發(fā)現(xiàn)的.不過(guò)這無(wú)關(guān)乎剽竊的問(wèn)題,他們之間是有協(xié)議的.
說(shuō)到伯努利可就有故事說(shuō)了,這個(gè)家族實(shí)在不得了,別的家族出一位天才就可以偷笑了,而他們家族的天才是用「量產(chǎn)」形容.伯努利們前前后后在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中活躍了一百年,他們的諸多成就（不僅止于數(shù)學(xué)領(lǐng)域）,就算隨便列一列,也有一本書(shū)這么厚.不過(guò)這個(gè)家族另外擅長(zhǎng)的一件事就不太敢恭維了,那就是吵架.自家人吵不夠,也跟外面的人吵（可說(shuō)是「表里如一」）.連爸爸與兒子合得一個(gè)大獎(jiǎng),爸爸還非常不滿意,覺(jué)得應(yīng)該由自己獨(dú)得,居然氣得把兒子趕出家門(mén)；和現(xiàn)代的許多「孝子」們比起來(lái),這位爸爸真該感到慚愧.
e的「影響力」其實(shí)還不限於數(shù)學(xué)領(lǐng)域.大自然中太陽(yáng)花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現(xiàn)螺線的形狀,而螺線的方程式,是要用e來(lái)定義的.建構(gòu)音階也要用到e,而如果把一條鏈子兩端固定,松松垂下,它呈現(xiàn)的形狀若用數(shù)學(xué)式子表示的話,也需要用到e.這些與計(jì)算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問(wèn)題,居然統(tǒng)統(tǒng)和e有關(guān),豈不奇妙?
數(shù)學(xué)其實(shí)沒(méi)那么難!
我們每個(gè)人的成長(zhǎng)過(guò)程中都讀過(guò)不少數(shù)學(xué),但是在很多人心目中,數(shù)學(xué)似乎是門(mén)無(wú)趣甚至可怕的科目.尤其到了大學(xué)的微積分,到處都是定義、定理、公式,令人望之生畏.我們會(huì)害怕一個(gè)學(xué)科的原因之一,是有距離感,那些微積分里的東西,好像不知是從哪兒冒出來(lái)的,對(duì)它毫無(wú)感覺(jué),也覺(jué)得和我毫無(wú)關(guān)系.如果我們知道微積分是怎么演變、由誰(shuí)發(fā)明的,而發(fā)明之時(shí)還發(fā)生了些什么事（微積分是誰(shuí)發(fā)明的這件事,爭(zhēng)論了許多年,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重大的影響）,發(fā)明者又是什么樣的人等等,這種距離感就應(yīng)該會(huì)減少甚至消失,微積分就不再是「陌生人」了.