這的確是很容易混淆的兩個概念,其實這二者之間沒有什么關(guān)系,也就是說可積可能原函數(shù)不是初等函數(shù),原函數(shù)存在也可能不可積.例如sinx/x,它有第一類間斷點,故原函數(shù)不是初等函數(shù),但它在R上是可積的.再如1/x的原函數(shù)存在...為什么含有第一類間斷點的函數(shù)沒有原函數(shù)？是符合只有連續(xù)才能有原函數(shù)嗎？振蕩間斷點到底是什么樣的間斷點，sin1/x感覺想不出來。導(dǎo)函數(shù)沒有第一類間斷點，這是一個定理，這里就不證明了。這就是說，不是所有的函數(shù)都可以成為某個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的，用集合和映射的觀點來說，就是如果把全體函數(shù)的集合即為A，把求導(dǎo)作為從A到A的一個映射，那么這個映射一定不是滿射。第二類間斷點的特征是左右極限至少有一個不存在，但極限不存在有兩種情況，極限是無窮大或極限不是無窮大也不存在，前者是無窮間斷點，后者是震蕩間斷點。當(dāng)x趨于0時1/x趨于無窮大，sin(1/x)就在x=0附近循環(huán)取值于閉區(qū)間[-1,1]，并且x距離0越近，循環(huán)就越快，這導(dǎo)致x趨于0的極限既不是無窮大（因為sin是有界函數(shù)）但也不存在。那所謂的震蕩間斷點就是x=0這一點嗎對于sin1/x來說只有x=0是震蕩間斷點（這函數(shù)也沒有別的間斷點了），但是其它函數(shù)就不一定了，不一定都是x=0這點啊。