設有實數(shù)域上n階方陣A,A的順序主子式全為正的,而且非對角元全為負的.證明：逆矩陣A^-1的每個元素全為正的.

數(shù)學人氣：855 ℃時間：2019-10-24 13:39:08

優(yōu)質(zhì)解答

對A做LU分解,用歸納法容易證明L和U具有同樣的符號結(jié)構(gòu)（這種矩陣叫M-矩陣）,即L和U的對角元為正數(shù)、非對角元為負數(shù)（非零的部分）、順序主子式大于零.
于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆為正數(shù)的三角矩陣,A^{-1}=U^{-1}L^{-1}是正矩陣.謝謝嗯那可以不用歸納法直接進行證明么？一般來講含有抽象的n的命題或多或少總要涉及歸納的，只不過有些場合歸納法被隱藏在某些引理的證明當中而已，所以我沒有興趣去尋找非歸納的證法嗯謝謝