∵原方程等價于cos3xsin5x=sin7xcos5x(cos5x≠0)
而cos3xsin5x=[sin(3x+5x)-sin(3x-5x)]/2=(sin8x+sin2x)/2
sin7xcos5x=[sin(7x+5x)+sin(7x-5x)]/2=(sin12x+sin2x)/2
于是原方程等價于(sin8x+sin2x)/2=(sin12x+sin2x)/2(cos5x≠0)
即sin8x-sin12x=0(cos5x≠0)
又sin8x-sin12x=sin(10x-2x)-sin(10x+2x)=-2cos10xsin2x
故cos10xsin2x=0(cos5x≠0)
所以sin2x=0或cos10x=0,即2x=kπ或10x=π/2+kπ,所以x=kπ/2或π/20+kπ/10
考慮到cos5x≠0,所以5x≠π/2+kπ,所以x≠π/10+kπ/5
綜上X=kπ或kπ/10+π/20
最后這一步要靠樓主自己理解的,樓主可以分別令k=0,1,2,3,...,對kπ/2,π/20+kπ/10,π/10+kπ/5的值列個表,對比一下就可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律了
也可以這樣想：
為了區(qū)別k,將x=kπ/2中的k用m表示,將π/20+kπ/10中的k用n表示
mπ/2≠π/10+kπ/5,5m≠1+2k,顯然,m為偶數(shù)時是可以的,而當m為奇數(shù)時必有相應的k使5m=2k+1,所以m為偶數(shù),x=mπ/2即x為π的整數(shù)倍
nπ/10+π/20≠π/10+kπ/5,2n+1≠2+4k,偶數(shù)不等于奇數(shù),恒成立
綜上得結(jié)果X=kπ或kπ/10+π/20