求實(shí)數(shù)a的值,使得函數(shù)f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的圖像為中心對(duì)稱圖形.
為敘述方便,用max{a1,a2,…,an}、min{a1,a2,…,an}
分別表示a1,a2,…,an中的最大數(shù)和最小數(shù).
當(dāng)x≤min{a-1,3}時(shí),有f(x)=(x+a)(-2x+a+2)-2x+4a=-2x2-ax+a2+6a.
當(dāng)x≥max{a-1,3}時(shí),有f(x)=(x+a)(2x-a-2)-2x+4a=2x2+(a-4)x-a2+2a.
當(dāng)min{a-1,3}
可見,函數(shù)f(x)的圖像在左、右兩邊為兩段拋物線弧,而在中間這一段上為一條線段.當(dāng)且僅當(dāng)它的對(duì)稱中心為中間這一線段的中點(diǎn)M,且左、右兩端拋物線弧的頂點(diǎn)A、B也關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱時(shí),函數(shù)f(x)的圖像為中心對(duì)稱圖形.
因?yàn)閤M= = ,xA=-a/4,xB=- ,
所以,=xM,即- = .
解得a=-2/3.
經(jīng)檢驗(yàn),a=-2/3滿足要求.