用劉維爾定理證明一個積分不可積往往比較困難.用劉維爾第三、第四定理可以證明∫e^(kx²)dx（k≠0）、∫e^(kx)/x dx（k≠0）、∫sinx/xdx、∫cosx/xdx、∫sin（x²）dx、∫cos（x²）dx等積分無法表示為初等函數(shù).
極點這個概念是復(fù)變函數(shù)中的，對此我不是很了解。事實上也可以不使用極點來判斷，可以證明R（x）一定是一個多項式，然后如圖片上所說，這是不可能的，從而∫e^(kx²)dx（k≠0）無法表示為初等函數(shù)。由歐拉公式，sinx=（e^ix-e^(-ix)）/2i，cosx=（e^ix+e^(-ix)）/2，所以∫sinx/xdx、∫cosx/xdx、∫sin（x²）dx、∫cos（x²）dx等積分也可以用劉維爾定理（第四定理）判別。