證:
考慮到因子3,4,5會在勾股數(shù)中多次出現(xiàn),
所以先考慮能否將形如3^α1*4^α2*5^α3的數(shù)的平方分為兩組
不難證明如下引理:
(1)
設k=p/q,其中p,q為互素的正整數(shù),若q|k且p^2+q^2為完全平方數(shù),則kp/q一定不能與k在同一組
(2)
兩次運用引理(1)可得,
設k1=p1/q1,k2=p2/q2,其中p1,q1,p2,q2為正整數(shù)且(p1,q1)=1,(p2,q2)=1,若q1q2|k且p1^2+q1^2與p2^2+q2^2均為完全平方數(shù),則kp1p2/q1q2與k必為同組.
特別地,當k1=k2=p/q時,kp^2/q^2與k為同組
假設存在這樣的分組,
現(xiàn)令n=3^α1*4^α2*5^α3,其中α1,α2,α3足夠大(即保證能被考慮的所有q整除)
考慮三組勾股數(shù)形成的比例3/4,12/5,20/9
它們的平方為9/16,144/25,400/81
所以n*(9/16)*(144/25)*(400/81)=16n與n同組(引理2)
16n*(9/16)=9n與n同組(引理2)
9n*(4/3)*(5/12)=5n與n同組(引理2)
16n*(5/12)*(9/20)=3n與n同組(引理2)
3n*(4/3)=4n與n異組(引理1)
可以看出3n,5n均與n同組,4n與n異組
所以形如3^α1*4^α2*5^α3只有一種可能的分組情況,即按照4的冪次的奇偶性分組
再考慮其他勾股數(shù),注意到8^2+15^2=17^2,所以考慮8/15這兩個比例
64n/225與n同組(n含有足夠多的因子3和5)
但64n/225和n中因子4的奇偶性相異,矛盾
所以原假設錯誤,即不存在這樣的分組
證畢
這題最重要的是對勾股數(shù)的感覺,有不懂的可以Hi我,以后多多交流.