（Ⅰ）f′(x)＝

(2+cosx)cosx?sinx(?sinx)

(2+cosx)2

＝

2cosx+1

(2+cosx)2

．（2分）
當(dāng)2kπ?

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＞?

1

2

，即f'（x）＞0；
當(dāng)2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＜?

1

2

，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一個(gè)區(qū)間(2kπ?

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函數(shù)，f（x）在每一個(gè)區(qū)間(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是減函數(shù)．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），則g′(x)＝a?

2cosx+1

(2+cosx)2

=a?

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

?

1

3

)2+a?

1

3

．
故當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
當(dāng)0＜a＜

1

3

時(shí)，令h（x）=sinx-3ax，則h'（x）=cosx-3a．
故當(dāng)x∈[0，arccos3a）時(shí)，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上單調(diào)增加．
故當(dāng)x∈（0，arccos3a）時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，當(dāng)x∈（0，arccos3a）時(shí)，f(x)＝

sinx

2+cosx

＞

sinx

3

＞ax．
當(dāng)a≤0時(shí)，有f(

π

2

)＝

1

2

＞0≥a?

π

2

．
因此，a的取值范圍是[

1

3

，+∞)．（12分）