數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1=1，an+1=n+2/nSn（n=1，2，3，…）．證明：（Ⅰ）數(shù)列{Snn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）Sn+1=4an．

數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a₁=1，a_n+1=

n+2

S_n（n=1，2，3，…）．證明：
（Ⅰ）數(shù)列{

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

數(shù)學人氣：465 ℃時間：2020-07-02 03:38:34

優(yōu)質(zhì)解答

（I）證：由a₁=1，a_n+1=

n+2

S_n（n=1，2，3，），
知a₂=

2+1

S₁=3a₁，

＝

4a1

＝2，

＝1，∴

＝2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），則S_n+1-S_n=

n+2

S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，

Sn+1

n+1

＝2（n=1，2，3，…），
故數(shù)列{

}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（II）證明：S_n+1=4a_n．當n=1時，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：

＝1×2n?1，∴S_n=n2^n-1
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此對于任意正整數(shù)n≥1都有S_n+1=4a_n．

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