目前公認(rèn)的有三種幾何體系：
歐氏幾何、羅巴切夫斯機(jī)-鮑耶幾何、黎曼幾何,這三種幾何唯一的不同點(diǎn)就在于第五公設(shè)的不同.歐氏幾何第五公設(shè)是指過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.而羅氏幾何則不同,它規(guī)定了過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.這樣三角形的內(nèi)角和也就小于180度.
黎曼從更高的角度統(tǒng)一了三種幾何,稱(chēng)為黎曼幾何.在非歐幾何里,有很多奇怪的結(jié)論.三角形內(nèi)角和不是180度(黎曼幾何中三角形內(nèi)角和大于180度),圓周率也不是3.14等等.因此在剛出臺(tái)時(shí),倍受嘲諷,被認(rèn)為是最無(wú)用的理論.直到在球面幾何中發(fā)現(xiàn)了它的應(yīng)用才受到重視.
空間如果不存在物質(zhì),時(shí)空是平直的,用歐氏幾何就足夠了.比如在狹義相對(duì)論中應(yīng)用的,就是四維偽歐幾里得空間.加一個(gè)偽字是因?yàn)闀r(shí)間坐標(biāo)前面還有個(gè)虛數(shù)單位i.當(dāng)空間存在物質(zhì)時(shí),物質(zhì)與時(shí)空相互作用,使時(shí)空發(fā)生了彎曲,這是就要用非歐幾何.