解法一:
證明:因?yàn)镸為CD中點(diǎn),所以DM=MC(DM=1/2DC)
又因?yàn)镈C=2AD,所以AD=DM,所以角DAM=角DMA①
同理角MBC=角BMC②
三角形ADM與三角形BMC的六個(gè)內(nèi)角和為360度
而角D與角C的和為180度(兩直線平行,同旁內(nèi)角和為180度)
所以角DAM.角DMA.角MBC.角BMC四個(gè)角和為180度
因?yàn)棰佗谒越荄MA角BMC和為90度(得出角AMB為90度)
因此AM垂直于BM,原題得證.
解法二:
直角三角形.
證明：設(shè)AD=a,依余弦定理,得：
AM^2=2a^2-2a*cos∠D
BM^2=2a^2-2a*cos∠C
因∠D+∠C=180°
故cos∠D=-cos∠C
故AM^2+BM^2=4a^2=AB^2
符合勾股定理,故為直角三角形.
解法三:
取AC的中點(diǎn)N,連接MN.MN為平行四邊形ABCD的中位線,故MN=AD=1/2CD=1/2AB.
在三角形ABM中:MN為AB邊的中線,且MN=1/2AB,所以ABM為直角三角形.
證明：設(shè)AD=a,依余弦定理,得：
AM^2=2a^2-2a*cos∠D
BM^2=2a^2-2a*cos∠C
因∠D+∠C=180°
故cos∠D=-cos∠C
故AM^2+BM^2=4a^2=AB^2
符合勾股定理,故為直角三角形.