函數(shù)這個數(shù)學(xué)名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的,以描述曲線的一個相關(guān)量,如曲線的斜率或者曲線上的某一點.萊布尼茲所指的函數(shù)現(xiàn)在被稱作可導(dǎo)函數(shù),數(shù)學(xué)家之外的普通人一般接觸到的函數(shù)即屬此類.對于可導(dǎo)函數(shù)可以討論它的極限和導(dǎo)數(shù).此兩者描述了函數(shù)輸出值的變化同輸入值變化的關(guān)系,是微積分學(xué)的基礎(chǔ).
1718年,約翰·貝努里（en:Johann Bernoulli）把函數(shù)定義為“一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量.”1748年,約翰·貝努里的學(xué)生歐拉（Leonhard Euler）在《無窮分析引論》一書中說：“一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或[常量]]以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式”.例如f(x) = sin(x) + x3.1775年,歐拉在《微分學(xué)原理》一書中又提出了函數(shù)的一個定義：“如果某些量以如下方式依賴于另一些量,即當(dāng)后者變化時,前者本身也發(fā)生變化,則稱前一些量是后一些量的函數(shù).”
19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開始對數(shù)學(xué)的各個分支作規(guī)范整理.維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出將微積分學(xué)建立在算術(shù),而不是幾何的基礎(chǔ)上,因而更趨向于歐拉的定義.
通過擴(kuò)展函數(shù)的定義,數(shù)學(xué)家能夠?qū)σ恍捌婀帧钡臄?shù)學(xué)對象進(jìn)行研究,例如不可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù).這些函數(shù)曾經(jīng)被認(rèn)為只具有理論價值,遲至20世紀(jì)初時它們?nèi)员灰曌鳌肮治铩?稍后,人們發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)在對如布朗運動之類的物理現(xiàn)象進(jìn)行建模時有重要的作用.
到19世紀(jì)末,數(shù)學(xué)家開始嘗試?yán)眉险搧硪?guī)范數(shù)學(xué).他們試圖將每一類數(shù)學(xué)對象定義為一個集合.狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）給出了現(xiàn)代正式的函數(shù)定義.狄利克雷的定義將函數(shù)視作數(shù)學(xué)關(guān)系的特例.然而對于實際應(yīng)用的情況,現(xiàn)代定義和歐拉定義的區(qū)別可以忽略不計.