最大公因數(shù)是1,說明他們?nèi)咧g不存在共有的素因子.而兩兩之間不互質(zhì),又說明兩兩之間存在共有的素因子.
假設(shè)要求的3個(gè)自然數(shù)分別是A,B,C.其中：
x = A,B的最大公約數(shù)
y = B,C的最大公約數(shù)
z = C,A的最大公約數(shù)
任選兩個(gè),比如 x,y,則必然有 x,y 互質(zhì).否則的話設(shè) d = x,y 的最大公約數(shù)（d>1）,則 d 同時(shí)是 A,B 和 B,C 的約數(shù),這和 A,B,C 互質(zhì)相矛盾.
因此容易得出結(jié)論：x,y,z 兩兩互質(zhì).
構(gòu)造結(jié)果：
為了使結(jié)果最小,可以令 x,y,z 為 3 個(gè)不同的素?cái)?shù).最小的3個(gè)素?cái)?shù)分別是2,3,5.那么可以設(shè)：
(1).A,B的最大公約數(shù)x = 2
(2).B,C的最大公約數(shù)y = 3
(3).C,A的最大公約數(shù)z = 5
由 (1),(2) 知,B至少包含因子2,3,所以B最小是 2*3 = 6
由 (2),(3) 知,C至少包含因子3,5,所以C最小是 3*5 = 15
由 (3),(1) 知,A至少包含因子5,2,所以A最小是 5*2 = 10
綜上所述,A+B+C的最小值應(yīng)該是 6+15+10 = 31