分析,
要加上條件：函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).
f(x)是凸函數(shù),又是凹函數(shù),證明：f(x)一定是線性函數(shù).
證明：
函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)連續(xù),
在定義域內(nèi),任意設(shè)兩點x1,x2,(x1≠x2)
根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì),
f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2
再根據(jù)凹函數(shù)的性質(zhì),
f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2
因此,f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2,
滿足這樣條件的f(x)一定可以寫成,f(x)=ax+b.
故,f(x)是線性函數(shù).