1.函數(shù)周期性的關(guān)鍵的幾個(gè)字“有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)”.
概念的提出：
將日歷中“星期”隨日期變化的周期性的出現(xiàn)和正弦函數(shù)值隨角的變化周期性的出現(xiàn)進(jìn)行對(duì)比,尋求出兩者實(shí)質(zhì)：當(dāng)“自變量”增大某一個(gè)值時(shí),“函數(shù)值”有規(guī)律的重復(fù)出現(xiàn).
出示函數(shù)周期性的定義：對(duì)于函數(shù)y=f（x）,如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.
“當(dāng)自變量增大某一個(gè)值時(shí),函數(shù)值有規(guī)律的重復(fù)出現(xiàn)”這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá).
2.定義:對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),f(x+T)=f(x)
概念的具體化：
當(dāng)定義中的f(x)=sinx或cosx時(shí),思考T的取值.
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期函數(shù),且周期為 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函數(shù)的圖象.
周期函數(shù)的圖象的形狀隨x的變化周期性的變化.（用課件加以說(shuō)明.）
強(qiáng)調(diào)定義中的“當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值”
令(x+T)2=x2,則x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0,即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
強(qiáng)調(diào)定義中的“非零”和“常數(shù)”.
例:三角函數(shù)sin(x+T)=sinx
cos(x+T)=cosx中的T取2π
3.最小正周期的概念：
對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x),如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.
對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx,自變量x只要并且至少增加到x+2π時(shí),函數(shù)值才能重復(fù)取得.所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期是2π.（說(shuō)明：如果以后無(wú)特殊說(shuō)明,周期指的就是最小正周期.）
在函數(shù)圖象上,最小正周期是函數(shù)圖象重復(fù)出現(xiàn)需要的最短距離.
4.例：求下列函數(shù)的周期：
（1）y=3cosx
分析：只要cosx中的自變量只要且至少增加到x+2π時(shí),函數(shù)cosx的值才重復(fù)出現(xiàn),因而函數(shù)3cosx的值也才重復(fù)出現(xiàn),因此y=3cosx的周期是2π．（說(shuō)明cosx前面的系數(shù)和周期無(wú)關(guān).）
（2）y=sin(x+π/4)
分析略,說(shuō)明在x后面的角也不影響周期.
（3）y=sin2x
分析：因?yàn)閟in2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以自變量x只要且至少增加到x+π時(shí),函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn).所以原函數(shù)的周期為π.（說(shuō)明x的系數(shù)對(duì)函數(shù)的周期有影響.）
（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）
結(jié)論：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ為常數(shù),A0,xR) 的函數(shù)的周期為T(mén)=(2π-φ)/ω
參考資料：作者：盧冬寶 單位：北京市延慶縣第三中學(xué) 個(gè)人網(wǎng)頁(yè)