已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CF⊥AB于E，C是AD的中點，連接BD，連接AD，分別交CE、BC于點P、Q． （1）求證：P是AQ的中點； （2）若tan∠ABC=3/4，CF=8，求CQ的長．
已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CF⊥AB于E，C是
 |
| AD |
的中點，連接BD，連接AD，分別交
CE、BC于點P、Q．
（1）求證：P是AQ的中點；
（2）若tan∠ABC=
，CF=8，求CQ的長．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：∵C是
|
| AD |
的中點，
∴
|
| AC |
=
|
| CD |
，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥AB，
∴
|
| AC |
=
|
| AF |
∴
|
| AF |
＝ |
| CD |
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是AQ的中點．
（2）∵CE⊥AB于E，
∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=
＝，
∵CF=8，
∴CE=4，
得：BE=
CE=
，
∴由勾股定理，得BC=
＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=
＝，BC=
，
得AC=
BC=5．
∵AB為直徑，∠CBA=∠CAQ，
∴Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC
2=CQ?BC
∴CQ=
＝．
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