R的完備性就是說R上的Cauchy序列（也叫基本序列）都收斂.要理解這個(gè)問題最好和實(shí)數(shù)的連續(xù)性放在一起看,并且要結(jié)合有理數(shù)進(jìn)行思考,因?yàn)橛欣頂?shù)不具有完備性.
實(shí)際上Cauchy序列其實(shí)已經(jīng)描述了收斂性,也就是說如果一個(gè)序列是Cauchy序列,那么它“確實(shí)是收斂的,只是收斂的極限不知道在哪里”.這個(gè)講法當(dāng)然不嚴(yán)格,不過可以幫助理解.
對于有理數(shù)而言,有理數(shù)域上的Cauchy序列的極限不一定是有理數(shù),所以 在有理數(shù)域上 某些Cauchy序列是發(fā)散的（不是真的發(fā)散,只是極限是無理數(shù),并不在有理數(shù)域內(nèi)）,而在實(shí)數(shù)域上則沒有這個(gè)問題,所有Cauchy序列的極限都是實(shí)數(shù).
實(shí)數(shù)基本的等價(jià)定理有7條,除了表示完備性的Cauchy收斂原理外還有關(guān)于連續(xù)性和局部緊性的定理（當(dāng)然其中連續(xù)性是最直觀的）,要充分理解R的完備性就需要把這些定理都好好體會一下,并且隨時(shí)比較為什么這些性質(zhì)在有理數(shù)域上不成立.