AB•AC==|AB||AC|cos∠A=-1
|AB|²=4,|AC|²=1.
如下圖：
AO•AC=|AO||AC|cos∠OAC=|AO||AC|•(|AC|/|AD|)
=1/2|AD||AC|•(|AC|/|AD|)
=1/2|AC|²=1/2,
AO•AB=|AO||AB|cos∠OAB=|AO||AB|•(|AB|/|AD|)
=1/2|AD||AB|•(|AB|/|AD|)
=1/2|AB|²=2,
向量AO=m*向量AB+n*向量AC,
兩邊點(diǎn)乘向量AB可得：AO•AB=m*向量AB²+n*向量AB*向量AC,
即2=4m-n,①
同理兩邊點(diǎn)乘向量AC可得：AO•AC=m*向量AB*向量AC +n *向量AC²,
即1/2=-m+n,②
聯(lián)立①②解得：m= 5／6,n= 4／3,
∴m+n= 13／6.
【解法二】
O為三角形ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn),
則O為三角形的外接圓的圓心.
由余弦定理：BC=(AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos120°)^(1/2)
= (4+1+2) ^(1/2)=7^(1/2)
AO為外接圓的半徑,設(shè)AO =R,
根據(jù)正弦定理得：BC/sinA=2R, R=(BC/2)/sin120°=(7/3)^(1/2)
過(guò)O作AC的垂線與AC交于D,再過(guò)O作AB的平行線與AC的延長(zhǎng)線交于E,
則 DO=(AO^2-(AC/2)^2)^(1/2)=(7/3-1/4)^(1/2)=(25/12)^(1/2)
∵∠DEO=60°
∴DO/EO=cos30°
∴EO=DO/cos30°=(25/12)^(1/2)*(2/3^(1/2))=5/3
∴DE=EO/2=5/6
∴AE=DE+AC/2=5/6+1/2=4/3
過(guò)O作AC的平行線與AB交于F,則四邊形FAEO是平行四邊形,
向量AO=向量AF+向量AE=m*向量AB+n*向量AC
∴|向量AF|=m*|向量AB|,|向量AE|=n*|向量AC|
∵|向量AF|=EO=5/3,|向量AB|=2,|向量AE|=4/3,|向量AC|=1
∴5/3=2m,4/3=n
∴m + n = 5/6 + 4/3 = 13/6.
【解法三】
以A為原點(diǎn),以AB所在的直線為x軸,建立直角系：
A（0,0）,B （2,0）,C（- 1／2, √3／2 ）,
∵O為△ABC的外心,
∴O在AB的中垂線 r1：x=1 上,又在AC的中垂線 r2 上,
AC的中點(diǎn)（- 1/4, √3/4）,AC的斜率為-√ 3,
∴中垂線r2;y- √3／4=√ 3／3（x+ 1／4 ）．
r1和r2 聯(lián)立方程組
△ABC的外心O（1, 2√3／3 ）,
AO=mAB+nAC
（1, 2√3／3）=m（2,0）+n（- 1／2, √3／2）,=2m- 1／2n, √3±2n ）,
∴2m- 1／2n=1,√ 3／2n= 2√3／3,
∴m= 5／6,n= 4／3,
∴m+n= 13／6,
