已知O是三角形ABC的外心,AB=2 AC=1,角BAC=120°.若向量AO=m*向量AB+n*向量AC 則m+n=
由余弦定理：BC=(AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos120°)^(1/2)
= (4+1+2) ^(1/2)=7^(1/2)
則 AO=(BC/2)/cos30°=(7/3)^(1/2)
過(guò)O作AC的垂線與AC交于D,再過(guò)O作AB的平行線與AC的延長(zhǎng)線交于E,
則 DO=(AO^2-(AC/2)^2)^(1/2)=(7/3-1/4)^(1/2)=(25/12)^(1/2)
∵∠DEO=60°
∴DO/EO=cos30°
∴EO=DO/cos30°=(25/12)^(1/2)*(2/3^(1/2))=5/3
∴DE=EO/2=5/6
∴AE=DE+AC/2=5/6+1/2=4/3
過(guò)O作AC的平行線與AB交于F,則四邊形FAEO是平行四邊形,
向量AO=向量AF+向量AE=m*向量a+n*向量b
∴|向量AF|=m*|向量a|,|向量AE|=n*|向量b|
∵|向量AF|=EO=5/3,|向量a|=2,|向量AE|=4/3,|向量b|=1
∴5/3=2m,4/3=n
∴m + n = 5/6 + 4/3 = 13/6
請(qǐng)問(wèn)AO=(BC/2)/cos30°=(7/3)^(1/2)怎么來(lái)的?