取直線l上任意一點(diǎn)Q(x1,y1),則Ax1+By1+C=0,即Ax1+By1＝-C
于是由柯西不等式,
[(x0-x1)^2+(y0-y1)^2](A^2+B^2)
≥[A(x0-x1)+B(y0-y1)]^2
=[Ax0+By0-(Ax1+By1)]^2
=[Ax0+By0+C]^2
因此PQ＝√[(x0-x1)^2+(y0-y1)^2]≥|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
所以P到直線l的距離d即為PQ的最小值|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)
x1=(B^2*x0-AC-ABy0)/(A^2+B^2),
y1=(A^2*y0-BC-ABx0)/(A^2+B^2).
綜上可知d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2),命題得證.