關(guān)于等價(jià)無窮小替換的問題,不要背結(jié)論,要知道原理,尤其是做對了也要知道為什么是對的,否則跟猜對的沒什么區(qū)別.
對于你給的具體問題,要注意x->0+時(shí)
lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1
所以才能導(dǎo)致等價(jià)無窮小的替換.
當(dāng)然,我認(rèn)為這樣的替換沒什么價(jià)值,證明可以替換的難度和原問題相當(dāng),只不過是便于你使用L'Hospital法則而已,但這類問題根本不需要用L'Hospital法則就能解決.
再把你的問題抽象一下,在某個變化趨勢(比如x->a)下,lim f(x)/g(x)=1,h(x)具有一定的連續(xù)性,那么是否可以保證lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立?
一般來講結(jié)論是不對的,給你個反例：
x->0時(shí),f(x) = 1/x^4,g(x) = 1/x^4+1/x^2,h(x) = e^x
如果你一定要無窮小量而非無窮大量也可以,比如
x->0時(shí),f(x) = x^2,g(x) = x^2+x^4,h(x) = e^{-1/x^2}可以