假設存在實數a、b、c滿足題設條件
即f(x)= 0方程,有至少存在一個實數根 ,所以必有Δ≥0
帶入定點M得：f(-1)=a-b+c=0 …………1
又對于一切實數x∈R,都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
當x=1時,1≤f(1) ≤1 即f(x)=1
得：f(1)= a+b+c=1 ……………2
由1,2式得 c=1/2- a b=1/2
帶入Δ≥0 得 b²-4 a c≥0 即 （1/2）²-4 a（1/2-a）≥0
解不等式得 a∈R且a≠0
現在只需推出又對于一切實數x∈R,都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
即 （1）式 f(x) - x≥0 （2）式 f(x) -1/2(1+x²)≤0恒成立即可
由1）式得 ax²-1/2 x+1/2- a≥0 所以只要Δ=（-1/2）²-4 a（1/2-a）≥0恒成立即可,顯然Δ≥0恒成立.
由2）式得 （a-1/2）x²-1/2 x-a≤0要使（2）恒成立
ⅰ 當a-1/2=0時 即a=1/2 由2）式得 -1/2 x-1/2≤0 顯然不成立；
ⅱ 當a-1/2≠0時 即a≠1/2,
必需有：（a-1/2 ）•f(x0)≥0 注：x0 為對稱軸
Δ≤0
這兩個條件同時滿足
帶入化簡得：（a-1/2 ）｛（16a ²-8 a +3）/（4 a-2）｝≤0
即a＜1/2
即Δ=（1/2）²-4 a（a-1/2）≤0 化簡得 （4 a-1）²≤0 得 a=1/4
即得：c=1/4
綜上所述：僅當a=1/4 b=1/2 c=1/4 時,假設成立.
即存在實數,滿足題設假設.
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