對(duì)稱軸是x=–1的二次函數(shù)y=f(x)在R上的最小值是0,且f(1)=1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=(λ＋1)f(x–1)–λx–3在x∈[–1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
(3)求最大的實(shí)數(shù)m(m>1),使得存在實(shí)數(shù)t,只要x∈[1,m],就有x≥f(x＋t)成立
(1)解析：∵對(duì)稱軸是x=–1的二次函數(shù)y=f(x)在R上的最小值是0
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：f(x)=a(x+1)^2,(a>0)
∵f(1)=1
則a(1+1)^2=1==>a＝1/4
∴f(x)=1/4 (x+1)^2
(2)解析：由(1)得：g(x)=(λ+1)f(x-1)-λx-3=(λ+1)/4*x^2-λx-3當(dāng)λ=-1時(shí),則g(x)=x-3
易知函數(shù)g(x)在x屬于[-1,1]上是增函數(shù)
當(dāng)λ≠-1時(shí),考察二次方程[(λ+1)/4]*x^2-λx-3＝0,
Δ＝(-λ)^2-4*[(λ+1)/4]*(-3)=λ^2+3λ+3=(λ+3/2)^2+3/4恒有Δ>0,即二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)λ≥0時(shí),即(λ+1)/4>0,二次函數(shù)g(x)圖像開(kāi)口向上,且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)有：g(0)=-3<0,對(duì)稱軸x=2λ/(λ+1)>0,
易知g(x)在[-1,0]上為減函數(shù),顯然不合題意
當(dāng)-1<λ<0時(shí),即(λ+1)/4>0,g(x)圖像開(kāi)口向上,且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
有：g(0)=-3<0,對(duì)稱軸x＝2λ/(λ+1)<0
要使g(x)在x屬于［-1,1］上是增函數(shù),
須使2λ/(λ+1)≤-1==>λ≤-1/3,
∴-1<λ≤-1/3
當(dāng)λ<-1時(shí),即(λ+1)/4<0,g(x)圖像開(kāi)口向下,且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
有：g(0)=-3<0,對(duì)稱軸x=2λ/(λ+1)>0,
要使g(x)在x屬于［-1,1］上是增函數(shù),
須使2λ/(λ+1)≥1==>λ≤1
∴λ<-1
綜上：若g(x)在x屬于［-1,1］上是增函數(shù),實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤-1/3
(3)由(1)知：f(x)=1/4*(x+1)^2∵不等式f(x+t)≤x==>1/4*(x+t+1)^2≤x==>x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0
設(shè)h(x)=x^2+(2t-2)x+(t+1)^2,其圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱軸x=1-t,h(0)=(t+1)^2≥0,Δ=(2t-2)^2-4(t+1)^2=-16t
要使x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解
須使Δ=-16t≥0==>t≤0,則對(duì)稱軸x=1-t≥1
解方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0x1=1-t-2√(-t)=(1-√(-t))^2≥0,x2=1+t+2√(-t)=(1+√(-t))^2≥0
又h(0)=(t+1)^2≥0易知,在x∈[(1-√(-t))^2,(1+√(-t))^2]上函數(shù)h(x)≤0
∵x∈[1,m],使得存在實(shí)數(shù)t,就有f(x+t)≤x即x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0成立
只要0≤x1≤1==>0≤(1-√(-t))^2≤1==>-1≤t≤0要使實(shí)數(shù)m取得最大值,須使m=x2=(1+√(-t))^2有最大值
∴當(dāng)t=-1時(shí),x1=(1-√(-t))^2有最小值0,
此時(shí)m=(1+√(-t))^2有最大值4不好意思，在第三題求出△=0後面的步驟看不懂，可不可以給我解釋一下，謝謝！在第三問(wèn)中，Δ=-16t，哪有△=0？就是△=–16t≥0後面的那個(gè)方程要使不等式f(x+t)≤x，即使x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解須使方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0有解，則Δ=-16t≥0==>t≤0，則對(duì)稱軸x=1-t≥1解方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0x1=1-t-2√(-t)=(1-√(-t))^2≥0，x2=1+t+2√(-t)=(1+√(-t))^2≥0又h(0)=(t+1)^2≥0易知，在x∈[(1-√(-t))^2,(1+√(-t))^2]上函數(shù)h(x)≤0，即不等式x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解∵x∈[1,m]，使得存在實(shí)數(shù)t，就有f(x+t)≤x即x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0成立只要0≤x1≤1==>0≤(1-√(-t))^2≤1==>-1≤t≤0要使實(shí)數(shù)m取得最大值，須使m=x2=(1+√(-t))^2有最大值∴當(dāng)t=-1時(shí)，x1=(1-√(-t))^2有最小值0，此時(shí)m=(1+√(-t))^2有最大值4大概懂了，謝謝！?????????????????????