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  • 已知三角形三邊求面積 公式的 推法

    已知三角形三邊求面積 公式的 推法
    數(shù)學人氣:629 ℃時間:2020-02-04 06:17:33
    優(yōu)質(zhì)解答
    這是海倫公式
    假設(shè)有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:
    S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
    而公式里的p為半周長:
    p=(a+b+c)/2
    設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則余弦定理為
    cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
    S=1/2*ab*sinC
    =1/2*ab*√(1-cos^2 C)
    =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
    =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
    =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
    =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
    =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
    設(shè)p=(a+b+c)/2
    則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
    上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
    =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
    所以,三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
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