雖然在牛頓之前,已有不少數(shù)學(xué)家從事過(guò)微積分的奠基性工作,但作為無(wú)窮小量分析所涉及的觀點(diǎn)和方法,以及由此組成的一門(mén)以獨(dú)特的算法為特征的新學(xué)科的發(fā)現(xiàn),這仍歸功于牛頓.正如美國(guó)數(shù)學(xué)史家克萊因所說(shuō)："數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展,幾乎總是建立在幾百年中作出的一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多工作之上的,需要一個(gè)人來(lái)走那最高最后的一步,這個(gè)人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測(cè)和說(shuō)明中清理出前人有價(jià)值的想法,有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來(lái),并且足夠大膽地制定一個(gè)宏偉的計(jì)劃.在微積分中,這個(gè)人就是伊薩克·牛頓".
1666年,即牛頓擔(dān)任數(shù)學(xué)教授之前,他已經(jīng)開(kāi)始關(guān)于微積分的研究,他受了沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》的啟發(fā),第一次把代數(shù)學(xué)擴(kuò)展到分析學(xué).牛頓起初的研究是靜態(tài)的無(wú)窮小量方法,像費(fèi)爾馬那樣把變量看成是無(wú)窮小元素的集合.1669年,他完成了第一篇有關(guān)微積分的論文.當(dāng)時(shí)在他的朋友中間散發(fā)傳閱,直到42年后的1711年才正式出版.牛頓在論文中不僅給出了求瞬時(shí)變化率的一般方法,而且證明了面積可由求變化率的逆過(guò)程得到.這一事實(shí)是牛頓創(chuàng)立微積分的標(biāo)志.接著,牛頓研究變量流動(dòng)生成法,認(rèn)為變量是由點(diǎn)、線或面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,因此,他把變量叫作流量,把變量的變化率叫做流數(shù).牛頓第二階段的工作,主要體現(xiàn)在成書(shū)于1671年的一本論著《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》中.書(shū)中敘述了微積分基本定理,并對(duì)微積分思想作了廣泛而更明確的說(shuō)明.但這篇論著直到1736年才公開(kāi)發(fā)表.牛頓微積分研究的第三階段用的是最初比和最后比的方法,否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合,不再?gòu)?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)量是由不可分割的最小單元構(gòu)成,而認(rèn)為它是由幾何元素經(jīng)過(guò)連續(xù)運(yùn)動(dòng)生成的,不再認(rèn)為流數(shù)是兩個(gè)實(shí)無(wú)限小量的比,而是初生量的最初比或消失量的最后比,這就從原先的實(shí)無(wú)限小量觀點(diǎn)進(jìn)到量的無(wú)限分割過(guò)程即潛無(wú)限觀點(diǎn)上去.這是他對(duì)初期微積分研究的修正和完善.牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程(積分法).
萊布尼茲的工作
無(wú)獨(dú)有偶,就在牛頓完成了微積分論文卻又未公開(kāi)出版之際,德國(guó)科學(xué)家萊布尼茲也在做著與牛頓相同的工作.
萊布尼茲1646年生于德國(guó)東部重鎮(zhèn)萊比錫的一個(gè)知識(shí)分子家庭中.父親是萊比錫大學(xué)哲學(xué)教授,他去世時(shí),萊布尼茲才剛滿(mǎn)6歲,因此,年幼的萊布尼茲是在母親的撫育下成長(zhǎng)的.由于他勤奮好學(xué),15歲便考進(jìn)了萊比錫大學(xué)法學(xué)系,20歲已獲得了法學(xué)博士學(xué)位.畢業(yè)后,他在德國(guó)的外交界任職,這使他有機(jī)會(huì)利用出訪英、法等國(guó)的條件,與歐洲科學(xué)界名流廣泛接觸.在這個(gè)過(guò)程中,他開(kāi)始對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)方面的重大課題產(chǎn)生濃厚的興趣,特別是有關(guān)微積分的先驅(qū)性工作更是令他心馳神往.萊布尼茲從法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡的一篇論文中,敏銳地意識(shí)到,不規(guī)則面積的求和與變化率的求差運(yùn)算是可逆的.這一認(rèn)識(shí)正是發(fā)明微積分的關(guān)鍵.從1673年到1678年,萊布尼茲已完成了創(chuàng)建微積分學(xué)的主要工作,于1684年開(kāi)始發(fā)表有關(guān)微積分方面的學(xué)術(shù)論文.
德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn),這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用于分式和無(wú)理量,以及這種新方法的奇妙類(lèi)型的計(jì)算》.就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章,卻有劃時(shí)代的意義.他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則.1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn).他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響.現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的.
在完成微積分的問(wèn)題上,萊布尼茲與牛頓的功績(jī)相當(dāng),他們都把微積分作為一種能應(yīng)用于一般函數(shù)的普遍方法.所不同的是,牛頓更多關(guān)心的是創(chuàng)立微積分的體系和基本方法,而萊布尼茲似乎更關(guān)心運(yùn)算公式的建立與推廣.萊布尼茲的微積分思想雖然不如牛頓那樣有條理,但卻富于啟發(fā)性.