設(shè)OA斜率為k,則OB斜率為-1/k--->OA:y=k; OB:y=-x/k
OA與拋物線方程聯(lián)立：(kx)^=2px----->xA=2p/k^,yA=2p/k
OB與拋物線方程聯(lián)立：(-x/k)^=2px--->xB=2pk^,yB=-2pk
AB方程：y+2pk = [(2p/k+2pk)/(2p/k^-2pk^)](x-2pk^)
令：y=0--->x=2pk^+2pk[(1/k^-k^)/(1/k+k)]
=2pk^+2p[(1-k^^)/(1+k^)]
=2pk^+2p(1-k^)
=2p
即：AB恒過定點(diǎn)(2p,0)
(1).當(dāng)AB垂直x軸時,AB：x=p/2
A(p/2, p), B(p/2, -p)
AB=2p
S△AOB=p^2/2
(2).當(dāng)AB不垂直x軸時,AB：y=k(x-p/2),k≠0
代入拋物線：k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
k^2x^2-(k^2+2)px+k^2p^2/4=0
所以 x1+x2=(k^2+2)p/k^2, x1*x2=p^2/4
所以 |y1-y2|=√(y1-y2)^2
=√(kx1-kx2)^2
=|k|*√(x1-x2)^2
=|k|*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=|k|*√[(k^2+2)^2p^2/k^4-p^2]
=|2p/k|*√(k^2+1)
所以 S△AOB=|2p/k|*√(k^2+1)*(p/2)*(1/2)
=|p^2/2k|√(k^2+1)
=|p^2/2|√(1+1/k^2)
無最小值.當(dāng)k趨向無窮大時,S△AOB=p^2/2
∴綜上,△AOB的最小值是p^2/2,此時AB垂直x軸
要證明以AB為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切,就要滿足圓心O到準(zhǔn)線的距離為AB一半(即半徑）.
已知A(X1,Y1),B(X2,Y2),設(shè)焦點(diǎn)為F
因?yàn)閽佄锞€上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離
所以AB=AF+BF=X1+P/2+X2+P/2=X1+X2+P
而O為AB的中點(diǎn),坐標(biāo)為（X1+X2/2,Y1+Y2/2）
所以O(shè)到準(zhǔn)線的距離= X1+X2/2+P/2=AB/2
得證