由an+2= an+1+an
有an+2- an+1- an=0
構(gòu)造特征方程 x2-x-1=0,
令它的兩個(gè)根是p,q 有pq=-1 p+q=1
下面我們來(lái)證 {an+1-pan}是以q為公比的等比數(shù)列.
為了推導(dǎo)的方便,令a0=1,仍滿足an+2= an+1+an
an+1-pan
= an+an-1 -pan
= (1-p) an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q為公比的等比數(shù)列.
a1-pa0
=1-p=q
所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①
同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②
①-②:(q-p)an= qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1}
可驗(yàn)證a0,a1也適合以上通項(xiàng)公式.