數(shù)學(xué)分析上有證明.兩者等價(jià),都是實(shí)數(shù)系基本定理.
不用柯西原理和其他定理,直接證法如下.
定理 非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界.
證明：任意實(shí)數(shù)x可以表示為x=[x]+(x),整數(shù)部分+非負(fù)小數(shù)部分.我們將(x)表示成無(wú)限小數(shù)形式：
(x)=0.a1 a2 a3 ...an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一個(gè)數(shù)字都是0,1,...,9中的一個(gè),若(x)是有限小數(shù),則在后面接上無(wú)限個(gè)0.這稱為實(shí)數(shù)的十進(jìn)制無(wú)效小數(shù)表示.注意0.123000...=0.122999...為了保持表示的唯一性,約定類(lèi)似情況統(tǒng)一表示成前者.這樣,任意實(shí)數(shù)集合S就可以由一個(gè)確定的無(wú)限小數(shù)的集合來(lái)表示:
{a0+0.a1 a2 ...an ...| a0=[x],0.a1 a2 ...an ...= (x),x屬于S}.
設(shè)數(shù)集S有上界,則可令S中元素的整數(shù)部分的最大者為b0,b0一定存在,否則S就無(wú)上界,并記
S0={x|x屬于S 且 [x]=b0}.
顯然由b0的定義,S0不是空集,并對(duì)任意x屬于S\S0,有xS1>...>Sn>...,和一列數(shù)b0,b1,...,bn,...,滿足
b0是整數(shù),bk是0,1,...,9中的一個(gè).
令c=b0+0.b1 b2 ...bn ...,下面證明c就是S的上確界.
首先,若x屬于S,則或存在非負(fù)整數(shù)m,使得x不屬于Sm,或?qū)θ魏畏秦?fù)整數(shù)n有,x屬于Sn.
若x不屬于Sm,有
x < b0+0.b1 b2 ...bm 0,當(dāng)m充分大,便有 1/10^m < e.
取y屬于Sm,則c與y的整數(shù)部分及前m位小數(shù)是相同的,所以
c-y c-e,這就說(shuō)明了任何小于c的數(shù)都不是S的上界.
故c就是S的上確界.
同理可證下確界存在性.
用柯西原理的話,先證明閉區(qū)間套定理,再證明確界存在定理.