設(shè)想有兩個熱源,一個卡諾循環(huán)從第一個熱源中抽取一定量的熱Q',相應(yīng)的溫度為T和T',則：
現(xiàn)在設(shè)想一個任意熱機(jī)的循環(huán),在系統(tǒng)中從N個熱源中交換一系列的熱Q1,Q2...QN,并有相應(yīng)的溫度T1,T2,...TN,設(shè)系統(tǒng)接受的熱為正量,系統(tǒng)放出的熱為負(fù)量,可以知道：
如果循環(huán)向反方向運(yùn)行,公式依然成立.
求證,我們?yōu)橛蠳個熱源的卡諾循環(huán)中引入一個有任意溫度T0的附加熱源,如果從T0熱源中,通過j次循環(huán),向Tj熱源輸送熱Qj,從定義絕對溫度的式中可以得出,從T0熱源通過j次循環(huán)輸送的熱為：
現(xiàn)在我們考慮任意熱機(jī)中N個卡諾循環(huán)中的一個循環(huán),在循環(huán)過程結(jié)束時,在T1,...,TN個熱源中,每個熱源都沒有純熱損失,因為熱機(jī)抽取的每一份熱都被循環(huán)過程彌補(bǔ)回來.所以結(jié)果是(i)熱機(jī)作出一定量的功,(ii) 從T0 熱源中抽取總量為下式的熱：
如果這個熱量是正值,這個過程就成為第二類永動機(jī),這是違反熱力學(xué)第二定律的,所以正如下式所列：
只有當(dāng)熱機(jī)是可逆的時,式兩邊才能相等,上式自變量可以一直重復(fù)循環(huán)下去.
要注意的是,我們用Tj 代表系統(tǒng)接觸的溫度,而不是系統(tǒng)本身的溫度.如果循環(huán)不是可逆的,熱量總是從高溫向低溫處流動.所以：
這里T代表當(dāng)系統(tǒng)和熱源有熱接觸時系統(tǒng)的溫度.
然而,如果循環(huán)是可逆的,系統(tǒng)總是趨向平衡,所以系統(tǒng)的溫度一定要和它接觸的熱源一致.在這種情況下,我們可以用T代替所有的Tj,在這種特定情況下,一個可逆循環(huán)可以持續(xù)輸送熱,
(可逆循環(huán)）
這時,對整個循環(huán)進(jìn)行積分,T是系統(tǒng)所有步驟的溫度.
熵的變化值可用可逆過程的熱溫商值來衡量.