步①,求∑上點(x,y,z)處的切平面π的方程：
∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
π的法向量n={ F’x,F’y,F’z}={ 2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2}
π的方程：2x/a^2*(X- x)+2y/b^2*(Y-y)+2z/c^2*(Z-z)=0
整理得xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2-1=0
步②,求坐標原點到π的距離λ：
利用點到平面的距離公式得到λ=1/√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)
步③,求曲面積分∫∫∑1/λdS中的dS：
積分曲面∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
亦即z=±c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)★
利用隱函數求導公式,z’x=- F’x/F’z=-x c^2/ za^2
z’y=- F’y/F’z=-y c^2/ zb^2
則可求出dS=√1+(z’x )^2+(z’y)^2)dxdy
=c^2/┃z┃*√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4) dxdy▲
步④,求曲面積分∫∫∑1/λdS：
先要把這個積分的積分曲面分成上下兩片
然后用計算公式把兩個曲面積分化成兩個二重積分
注意這兩個二重積分的積分區(qū)域是相同的橢圓域,即上下兩片橢球面分別投影到xoy面的投影
而這兩個二重積分的被積函數只相差一個符號,見★▲
于是得到所求的曲面積分等于零.