特性
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：首先我們知道如果a=p/q,且p/q為既約分?jǐn)?shù)（即p、q互質(zhì)）,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(hào)（x的p次方）,如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,＋∞）.當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則y=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道：排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于x>0,則a可以是任意[實(shí)數(shù)； 排除了為0這種可能,即對(duì)于x0的所有實(shí)數(shù),q不[能是偶數(shù)； 排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于x為大于或等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù).
編輯本段定義域
總結(jié)起來(lái),就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)； 如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù).在x大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù).在x小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù).而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域.由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
編輯本段第一象限
可以看到：（1）所有的圖形都通過(guò)（1,1）這點(diǎn).(a≠0) a＞0時(shí) 圖象過(guò)點(diǎn)（0,0）和（1,1） （2）當(dāng)a大于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).（3）當(dāng)a大于1時(shí),冪函數(shù)圖形下凸；當(dāng)a小于1大于0時(shí),冪函數(shù)圖形上凸.（4）當(dāng)a小于0時(shí),a越小,圖形傾斜程度越大.（5）顯然冪函數(shù)無(wú)界限.（6）a=0,該函數(shù)為偶函數(shù) ｛x|x≠0｝.
編輯本段圖象
冪函數(shù)的圖象：