冪函數(shù)的一般形式為y=x^a.
如果a取非零的有理數(shù)是比較容易理解的,不過初學(xué)者對于a取無理數(shù),則不太容易理解,在我們的課程里,不要求掌握如何理解指數(shù)為無理數(shù)的問題,因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識.因此我們只要接受它作為一個已知事實(shí)即可.
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號（x的p次方）,如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,＋∞）.當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能,即對于x0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù).
總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù).
在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù).
在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù).
而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域.
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
（1）所有的圖形都通過（1,1）這點(diǎn).
（2）當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).
（3）當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸.
（4）當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大.
（5）a大于0,函數(shù)過（0,0）；a小于0,函數(shù)不過（0,0）點(diǎn).
（6）顯然冪函數(shù)無界.