1、要求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)就令y=0,解出x的值即可,本題中令y=0后可得：
x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0 ……（a）,要證明函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),只需證明方程（a）有兩個(gè)不同的解即可,[-(m^2+4)]^2+4(2m^2+12)=(m^2+4)^2+8m^2+48>0,顯然方程（a）有兩個(gè)不同的解,所以函數(shù)一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).要證明（-2,0）是其中的一個(gè)交點(diǎn),只需證明x=-2是方程（a）的一個(gè)解就可以了,將x=-2帶入方程（a）中得：4-(m^2+4)*(-2)-2m^2-12=4+2m^2+8-2m^2-12=0,所以x=-2是方程（a）的一個(gè)解,因此點(diǎn)（-2,0）是函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn).
2、由1知函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-2,0）,設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)是（x1,0）,則x1也是方程（a）的一個(gè)解,根據(jù)韋達(dá)定理,x1-2=m^2+4……（b）,-2*x1=-2m^2-12……（c）,（b）和（c）化簡(jiǎn)后得出一個(gè)結(jié)果x1=m^2+6>0,所以兩交點(diǎn)之間的距離是m^2+6-(-2)=m^2+8=12,所以m^2=4,即m=2或m=-2
3、由2知兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是m^2+8,顯然當(dāng)m=0時(shí)距離最小,最小距離為8.
4、拋物線與y軸的交點(diǎn)x=0,此時(shí)y=m,即與y軸的交點(diǎn)為A（0,m）,過(guò)A作x軸的平行線與拋物線相交的另一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m,另x^2-x+m=m,得x^2-x=0,解得x=1或x=0,由于x=0是拋物線與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以B的坐標(biāo)為（1,m）,而三角形AOB的面積為(m*1)/2=4,解得m=8,所以拋物線的解析式為y=x^2-x+8