負(fù)數(shù)
人們在生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量.比如,在記帳時有余有虧;在計(jì)算糧倉存米時,有時要記進(jìn)糧食,有時要記出糧食.為了方便,人們就考慮了相反意義的數(shù)來表示.于是人們引入了正負(fù)數(shù)這個概念,把余錢進(jìn)糧食記為正,把虧錢、出糧食記為負(fù).可見正負(fù)數(shù)是生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生的.
據(jù)史料記載,早在兩千多年前,我國就有了正負(fù)數(shù)的概念,掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.人們計(jì)算的時候用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來進(jìn)行計(jì)算.比如,356擺成||| ,3056擺成等等.這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來制作.
我國三國時期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn).劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義,他說：“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之.”意思是說,在計(jì)算過程中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們.
劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說：“正算赤,負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說,用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù),用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù),用正擺的小棍表示正數(shù).
我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》（成書于公元一世紀(jì)）中,最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除,異名相益,正無入負(fù)之,負(fù)無入正之；其異名相除,同名相益,正無入正之,負(fù)無入負(fù)之.”這里的“名”就是“號”,“除”就是“減”,“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對值“相加”、“相減”,“無”就是“零”.
用現(xiàn)在的話說就是：“正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號兩數(shù)相減,等于其絕對值相減,異號兩數(shù)相減,等于其絕對值相加.零減正數(shù)得負(fù)數(shù),零減負(fù)數(shù)得正數(shù).異號兩數(shù)相加,等于其絕對值相減,同號兩數(shù)相加,等于其絕對值相加.零加正數(shù)等于正數(shù),零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù).”
這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的,與現(xiàn)在的法則完全一致!負(fù)數(shù)的引入是我國數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一.
用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣,一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù),報紙上登載某國經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字,表明支出大于收入,財(cái)政上虧了錢.
負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù).在實(shí)際生活中,我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示意義相反的兩個量.夏天武漢氣溫高達(dá)42°C,你會想到武漢的確象火爐,冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負(fù)號讓你感到北方冬天的寒冷.
在現(xiàn)今的中小學(xué)教材中,負(fù)數(shù)的引入,是通過算術(shù)運(yùn)算的方法引入的：只需以一個較小的數(shù)減去一個較大的數(shù),便可以得到一個負(fù)數(shù).這種引入方法可以在某種特殊的問題情景中給出負(fù)數(shù)的直觀理解.而在古代數(shù)學(xué)中,負(fù)數(shù)常常是在代數(shù)方程的求解過程中產(chǎn)生的.對古代巴比倫的代數(shù)研究發(fā)現(xiàn),巴比倫人在解方程中沒有提出負(fù)數(shù)根的概念,即不用或未能發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根的概念.3世紀(jì)的希臘學(xué)者丟番圖的著作中,也只給出了方程的正根.然而,在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,已較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)的運(yùn)算法則.
除《九章算術(shù)》定義有關(guān)正負(fù)運(yùn)算方法外,東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚(yáng)輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則,都與九章算術(shù)所說的完全一致.特別值得一提的是,元代朱世杰除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號異號的加減法則外,還給出了關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則.他在算法啟蒙中
負(fù)數(shù)在國外得到認(rèn)識和被承認(rèn),較之中國要晚得多.在印度,數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多于公元628年才認(rèn)識負(fù)數(shù)可以是二次方程的根.而在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù).直到十七世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)解決幾何問題.
與中國古代數(shù)學(xué)家不同,西方數(shù)學(xué)家更多的是研究負(fù)數(shù)存在的合理性.16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù).帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說.帕斯卡的朋友阿潤德提出一個有趣的說法來反對負(fù)數(shù),他說（-1）：1=1：（-1）,那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢?直到1712年,連萊布尼茲也承認(rèn)這種說法合理.英國數(shù)學(xué)家瓦里承認(rèn)負(fù)數(shù),同時認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無窮大（1655年）.他對此解釋到：因?yàn)閍＞0時,英國著名代數(shù)學(xué)家德·摩根 在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的.他用以下的例子說明這一點(diǎn)：“父親56歲,其子29歲.問何時父親年齡將是兒子的二倍?”他列方程56+x=2（29+x）,并解得x=-2.他稱此解是荒唐的.當(dāng)然,歐洲18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了.隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立,負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立.
自然數(shù)
數(shù)的概念最初不論在哪個地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的,但是記數(shù)的符號卻大不相同.
古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步,現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用.實(shí)際上,羅馬數(shù)字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.這7個符號位置上不論怎樣變化,它所代表的數(shù)字都是不變的.它們按照下列規(guī)律組合起來,就能表示任何數(shù)：
1．重復(fù)次數(shù)：一個羅馬數(shù)字符號重復(fù)幾次,就表示這個數(shù)的幾倍.如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”.
2．右加左減：一個代表大數(shù)字的符號右邊附一個代表小數(shù)字的符號,就表示大數(shù)字加小數(shù)字,如“VI”表示“6”,“DC”表示“600”.一個代表大數(shù)字的符號左邊附一個代表小數(shù)字的符號,就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目,如“IV”表示“4”,“XL”表示“40”,“VD”表示“495”.
3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線,表示這個數(shù)字的一千倍.
其他國家和地區(qū)的人民,則是普遍認(rèn)同十位進(jìn)制的記數(shù)符號,即1、2、3、4、5、6、7、8、9,遇到“零”就用黑點(diǎn)“·”表示,比如“6708”,就可以表示為“67·8”.后來這個表示“零”的“·”,逐漸變成了“0”.
如果你細(xì)心觀察的話,會發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有“0”.其實(shí)在公元5世紀(jì)時,“0”已經(jīng)傳入羅馬.但羅馬教皇兇殘而且守舊.他不允許任何使用“0”.有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說明,就被教皇召去,施行了拶刑,使他再也不能握筆寫字.
現(xiàn)在世界通用的數(shù)符號1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字.實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的.后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去,又把這一簡便易寫的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲,逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字.

附： 后來人們發(fā)現(xiàn),僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的.如果分配獵獲物時,5個人分4件東西,每個人人該得多少呢?于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了.自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零,通稱為算術(shù)數(shù).自然數(shù)也稱為正整數(shù).
接著人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義,比如增加和減少、前進(jìn)和后退,為了表示這樣的量,又產(chǎn)生了負(fù)數(shù).正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零,統(tǒng)稱為整數(shù).如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),就統(tǒng)稱為有理數(shù).公元前2500年,畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時,發(fā)現(xiàn)沒有一個能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它,這個新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯感到震驚,緊接著人們又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù),如圓周率就是最重要的一個,人們就把這些數(shù)稱作無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).但在解方程的時候常常需要開平方,如果被開方數(shù)負(fù)數(shù),這道題還有解嗎?如果沒有解,那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁.于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號“i”表示“-1”的平方根,即,虛數(shù)就這樣誕生了.
數(shù)的概念發(fā)展到虛數(shù)以后,在很長一段時間內(nèi),連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了,數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了.可是1843年10月16日,英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了“四元數(shù)”的概念.所謂四元數(shù),就是由一個標(biāo)量 （實(shí)數(shù)）和一個向量（其中x、y、z為實(shí)數(shù)）組成的數(shù).四元數(shù)在數(shù)論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應(yīng)用.與此同時,人們還開展了對“多元數(shù)”理論的研究. 到目前為止,數(shù)的家庭已發(fā)展得十分龐大.
公元3世紀(jì),也就是1600多年前,我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽就提出了小數(shù)．
最初,人們表示小數(shù)只是用文字,直到13世紀(jì),才有人用低一格的表示方法表示小數(shù),如8．23記做 , 左邊的數(shù)表示整數(shù)部分,右下方的數(shù)表示小數(shù)部分．
古代,還有人記小數(shù)是將小數(shù)部分的各個數(shù)字用圓圈圈起來,例如：1．5記做1⑤ ,這么一圈,就把整數(shù)部分和小數(shù)部分分開了．這種記法后來傳到了中亞和歐洲．
公元1427年,中亞數(shù)學(xué)家阿爾?卡西又創(chuàng)造了新的小數(shù)記法,他是用將整數(shù)部分與小數(shù)部分分開的方法記小數(shù)．如3．14記做3 14．
到了16世紀(jì),歐洲人才開始注意的小數(shù)的應(yīng)用．在歐洲,當(dāng)時有人這樣記小數(shù),如：3．1415記做3◎1①4②1③5④．◎可以看作整數(shù)部分與小數(shù)部分的分界標(biāo)志,圈里的數(shù)字表示的是數(shù)位的順序,這種記法很有趣,但是很麻煩．
直到公元1592年,瑞士的數(shù)學(xué)家布爾基對小數(shù)的表示方法作了較大的改進(jìn),他用一個小圓圈將整數(shù)部分與小數(shù)部分分割開,例如：5.24……數(shù)中的小圓圈實(shí)際起到了小數(shù)點(diǎn)的作用．
又過了一段時間,德國的數(shù)學(xué)家克拉維斯又用小黑點(diǎn)代替了小圓圈．于是,小數(shù)的寫法就成了我們現(xiàn)在的表示方法．
但是,用小數(shù)點(diǎn)表示,在不同的國家也有不同的方法．現(xiàn)在,小數(shù)點(diǎn)的寫法有兩種：一種是用“,”；一種是用小黑點(diǎn)“．”．
在德國、法國等國家常用“,”,寫出的小數(shù)如3,42、7,51……,而英國和北歐一些國家則和我國一樣,用“．”表示小數(shù)點(diǎn),如1.3、4.5……