已知三角形ABC的內(nèi)角A,B及其對(duì)邊a,b滿足a+b=acotA+bcotB,求內(nèi)角C.

已知三角形ABC的內(nèi)角A,B及其對(duì)邊a,b滿足a+b=acotA+bcotB,求內(nèi)角C.
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R
∴acotA+bcotB=R（cosA+cosB）
a+b=RsinA+RsinB
∴cosA+cosB=sinA+sinB
cosA-sinA=sinB-cosB
(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2
1-2sinAcosA=1-2sinBcosB
2sinBcosB=2sinAcosA
sin2B=sin2A
即A=B或A=π/2-B
算到這里我都是會(huì)的,只是有一個(gè)疑問.
若A=π/2-B,則∠C=90
但是若A=B的話,sinA+sinB未必等于cosA+cosB啊.
除非A=B=45°.但是方程解出的答案不應(yīng)該一定符合原方程嗎?
這個(gè)地方怎么也轉(zhuǎn)不過來彎了.

數(shù)學(xué)人氣：214 ℃時(shí)間：2019-11-05 00:26:53

優(yōu)質(zhì)解答

從cosA-sinA=sinB-cosB
到(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2產(chǎn)生增根.
用和差化積：
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2] *cos[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
得tan[(A+B)/2]=1或cos[(A-B)/2]=0
即A+B=π/2或A-B=π(不合題意,舍去).
∴C=π/2.
另外：正弦定理：
a/sinA=b/sinB=2R

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