（1）首先H(X)表達(dá)可能有錯(cuò),我認(rèn)為應(yīng)是 H(X)=2X^2+3X-1；
分別以實(shí)數(shù)M、N將F(X)、G(X)組合,令：H(X)=M*(X^2+AX)+N*(X+B)=MX^2+(MA+N)*X+NB；
將所給H(X)代換后有：2X^2+3X-1=MX^2+(MA+N)X+NB；
對(duì)比等式兩端X的系數(shù)可得：M=2,MA+N=3,NB=-1；
由上列前二式導(dǎo)出N=3-2A,代入上列第三式有：(3-2A)*B=-1,故 A=3/2+1/(2B)；
所以 A+2B＝3/2+1/(2B)+2B；
由算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù),知上式右端后兩項(xiàng)的和 1/(2B)+2B≧2*√((1/(2B))*(2B))=2；
所以 A+2B≧3/2+2=3.5；
（2）按說明定義的基成函數(shù)關(guān)系：H(X)=M*F(X)+N*G(X)；
H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))+N*(X-1)——①；
若要H(X)為偶函數(shù),則H(X)=H(-X),即有：
M*㏒₄(4^X+1)+NX-N=M*㏒₄(4^(-X)+1)+N*(-X)-N,
合并同類項(xiàng)：M*(㏒₄((4^X+1)/(4^(-X)+1)))+2NX=0,
化簡(jiǎn)得：MX+2NX=0,即N＝－M/2——②；
{當(dāng)H(X)有極小值時(shí),因X可以是任意數(shù),所以應(yīng)有 H'(X)＝0,為初級(jí)化,不利用此條件.}
將N=-M/2代入H(X)式①中：H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))-M(X-1)/2=M*{㏒₄(4^X+1))-㏒₄(4^((X-1)/2))}；
即H(X)=M*{㏒₄[(4^X+1)/(4^((X-1)/2))]}；
對(duì)數(shù)有最小值對(duì)應(yīng)其真數(shù)有最小值,即(4^X+1)/(4^((X-1)/2))有最小值；將該真數(shù)變換如下：
(4^X+1)/(4^((X-1)/2))=4^((X+1)/2)+1/4^((X-1)/2)=4^((X+1)/2)+4/4^((X+1)/2),
根據(jù)兩數(shù)算術(shù)與幾何平均數(shù)關(guān)系,上式有極小值≧2*{√[(4^((X+1)/2))*(4/(4^((X+1)/2)))]}=4,
因此H(X)最小值＝M*㏒₄(4)=M,
由于已知H(X)最小值等于1,即：M=1,所以M=1；再由②式可得N=-1/2；
將M、N值代入①式即可寫出：H(X)=M*(㏒₄(4^X+1))+N*(X-1)=㏒₄(4^X+1)－X/2+1/2.