問題的關(guān)鍵就是888個(gè)1組成的888位數(shù)是不是完全平方數(shù).如是,那么這個(gè)一千位數(shù)是完全平方數(shù),反之則否.
顯然,我們有
兩個(gè)N位數(shù)相乘,N個(gè)3組成的數(shù)的平方
33…3×33…3
= 11…1×99…9
= 11…1×（100…0 - 1）
= 11…100…0 - 11…1
= N-1個(gè)1,1個(gè)0,N-1個(gè)8,1個(gè)9 這樣的2N位的數(shù).（N = 1時(shí)就1位.）
兩個(gè)N位數(shù)相乘,N-1個(gè)3,1個(gè)4組成的數(shù)的平方
33…4×33…4
= （33…3 + 1）×（33…3 + 1）
= 33…3^2 + 2×33…3 + 1
= N個(gè)1,N-1個(gè)5,1個(gè)6 這樣的2N位的數(shù).
而對(duì)2N位的111…1來說
【N-1個(gè)1,1個(gè)0,N-1個(gè)8,1個(gè)9】 ＜ 111…1 ＜ 【N個(gè)1,N-1個(gè)5,1個(gè)6】
即
33…3^2 ＜ 111…1 ＜ 33…4^2
顯然,111…1不是個(gè)完全平方數(shù).
因此,111…1后偶數(shù)個(gè)0也必不是完全平方數(shù).