沒想到什么好方法,只能結(jié)合簡(jiǎn)單估計(jì)枚舉驗(yàn)算.
設(shè)N為k位數(shù),即10^(k-1) ≤ N < 10^k,則N^7 < 10^(7k).
N^7至多有7k位,f(N^7) ≤ 9·7k = 63k.
可以證明k ≥ 4時(shí),63k < 10^(k-1),此時(shí)必有f(N^7) < N,因此N至多為一個(gè)3位數(shù).
又N至多為3位數(shù),f(N^7) ≤ 189,故只需考慮N ≤ 189.
189^7 < 200^7 = 128·10^14,至多有17位,于是對(duì)N ≤ 189,f(N^7) ≤ 9·17 = 151.只需考慮N ≤ 151.
可算得151^7 < 2·10^15,至多為16位數(shù),且若為16位數(shù)則第一位為1.
于是對(duì)N ≤ 151,f(N^7) ≤ 1+9·15 = 136,只需考慮N ≤ 136.
此后這種估計(jì)就沒什么作用了,還可考慮的一點(diǎn)是除以9的余數(shù).
f(N^7)與N^7除以9的余數(shù)相等,于是N^7與N除以9的余數(shù)相等.
由此可排除除以9余3或6的數(shù).
剩下的數(shù)大概只能逐一驗(yàn)算了,我用軟件算了一下,滿足條件的N有8個(gè):
18,27,31,34,43,53,58,68.