設(shè)這個數(shù)為y=x1x2……xn(上面有一劃)
則y=10^(n-1)x1+10^(n-2)x2+……+xn
若n為偶數(shù)
y=(10^(n-1)+1)x1+(10^(n-3)+1)x3+……+(10+1)x(n-1)-(x1+x3+……+x(n-1))
+(10^(n-2)-1)x2+(10^(n-4)-1)x4+……+(10^2-1)x(n-2)+(x2+x4+……+xn)
下面有條定理
若k為偶數(shù),則x+1整除x^(2k+1)+1,x+1整除x^(2k)-1
【簡單證明一下：
x^(2k+1)+1=(x+1)(x^(2k)-x^(2k-1)+x^(2k-2)-……-x+1) (這個乘開來算一下,易知是對的)
設(shè)x^(2k)-1=(x^p+1)(x^q-1)
若p是奇數(shù),則證畢(剛證過x+1整除x^p+1)
若p是偶數(shù),因為pq=2k,所以q是偶數(shù),再講x^q-1因式分解,
經(jīng)過有限步必能找到因子x^(qn)+1(qn是奇數(shù)),則證畢】
現(xiàn)在取x=10,那么11整除(10^(n-1)+1)x1,(10^(n-3)+1)x3,……,(10+1)x(n-1)
11也整除(10^(n-2)-1)x2,(10^(n-4)-1)x4,……,(10^2-1)x(n-2)
則只要11整除-(x1+x3+……+x(n-1))+(x2+x4+……+xn),y就能被11整除
即奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)就能被11整除
若n為奇數(shù),道理也是一樣的