（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax²+bx-1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．
∴△=b²+4a=0 ②，
聯(lián)立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x²+2x，
∴函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=-x²+2x．
（2）任設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁ ²+2x₁+x₂²-2x₂，
=（x₂-x₁）[2-（x₁+x₂）]，
∵1≤x₁≤x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）如圖示：
當(dāng)x=1時，函數(shù)有最大值1，
當(dāng)x=-

1

2

時，函數(shù)有最小值-

5

4

．