已知a,b,c為三個非零實數(shù),且a+b+c=0求證:[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9

已知a,b,c為三個非零實數(shù),且a+b+c=0求證:[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9
有人解答過這一個說假設a=1,b=1,c=-2算出前一個因式是0因此說此要證明的式子錯了,顯然這種假設是不成立的,因為題目中已隱含了a,b,c不相等的關(guān)系,否則就沒有意義了!請哪位大師幫著再看一看!急!謝謝謝!

數(shù)學人氣：516 ℃時間：2020-04-16 09:08:02

優(yōu)質(zhì)解答

因為a+b+c=0,所以c=-a-b,
所以(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a
+(-a-b-a)/b=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,
通分,得(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab].
而c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=(b+a)/(b-a)+a/(2b+a)-b/(2a+b),
通分,得c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=9ab(a+b)/[(2b+a)(b+2a)(b-a)],
所以[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9.

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