AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2,
9AF1*AF2=AF1^2,為方便起見(jiàn),記|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c
即9rscosA=r^2
所以cosA=r/(9s)
由直角三角形可得
cosA=s/r,所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2
2a=r+s=4s,a=2s又a^2-c^2=1,即4s^2-2s^2=1,s^2=1/2
a^2=2,
橢圓方程為x^2/2+y^2=1
由條件可知,圓與橢圓在上頂點(diǎn)處外切
|EF|=2,
PE*PF=|PE||PF|cos∠EPF=(|PE|^2+|PF|^2-|EF|^2)/2
記圓心為C,則PC為三角形PEF的邊EF上的中線,于是
4|PC|^2+|EF|^2=2(|PE|^2+|PF|^2)
即|PE|^2+|PF|^2=|EF|^2/2+2|PC|^2
PE*PF=2|PC|^2-|EF|^2/2=2|PC|^2-2
所以只需求|PC|的最大值
為此,我們考慮圓x^2+(y-2)^2=9與橢圓的位置關(guān)系,
聯(lián)立橢圓方程可解得y僅有-1一個(gè)解,
這說(shuō)明橢圓的下頂點(diǎn)到C的距離最遠(yuǎn),
即|PC|的最大值為3,
所以PE*PF的最大值為16