根號2= p/q(p,q 為互質(zhì)正整數(shù)）,則
p^2 = 2q^2.
于是 p為偶數(shù).設(shè)p=2k（k為正整數(shù)）,于是
4k^2= 2q^2.
此即
2k^2= q^2.
于是 q為偶數(shù).這與p,q 互質(zhì)矛盾
下面是一個很少見的證明：
一個有限小數(shù)的平方絕對不可能變成整數(shù),因為小數(shù)部分不可能消失.觀察有限小數(shù)的小數(shù)部分最后一個數(shù)字你會發(fā)現(xiàn)結(jié)論是顯然的,平方后它總會產(chǎn)生新的“最后一位”.
下面證明,(n/m)^2不可能等于2.n/m不可能是整數(shù),于是把它寫成小數(shù)形式,而有限小數(shù)的平方不可能是整數(shù).如果n/m不是有限小數(shù)的話,可以把它轉(zhuǎn)換成另外的進制使得n/m是有限小數(shù),因而上面的結(jié)論仍然成立.一個進制下的無限小數(shù)可能是另一個進制下的有限小數(shù).比如,把分數(shù)n/m轉(zhuǎn)化為m進制,得到的小數(shù)肯定是有限小數(shù).