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  • 圓錐曲線 計算題

    圓錐曲線 計算題
    已知拋物線 y2=4x 焦點為F 過定點K(-1,0)的直線L與拋物線交于A B兩點
    點A 關于x軸的對稱點為D
    (1)證明點F在直線BD上
    (2)設向量FA×向量FB=8/9 求△BDK的內(nèi)切圓方程
    數(shù)學人氣:470 ℃時間:2020-09-27 10:16:31
    優(yōu)質(zhì)解答
    設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程為x=my-1(m≠0).
    ⑴、證明:將x=my-1帶入y²=4x并整理得y²-4my+4=0,從而y1+y2=4m,y1y2=4.
    直線BD的方程為y-y2=(y1+y2)(x-x2)/(x2-x1),即y-y2=4/(y2-y1)×(x-y²2/4).
    令y=0,x=y1y2/4=1,所以點F(1,0)在直線BD上.
    ⑵有⑴知,
    x1+x2=4m²-2,x1x2=1.∵向量FA=(x1-1,y1),向量FB=(x2-1,y2),
    二者的積=(x1-1)(x2-1)+y1y2=8-4m²,故8-4m²=8/9,m=±4/3,
    所以l的方程為3x+4y+3=0,3x-4y+3=0,
    又有⑴知y2-y1=±√(16m²-16)=±4√7/3,故BD斜率=4/(y2-y1)=±3/√7,
    因而BD方程為3x+√7y-3=0,3x-√7y-3=0.因而KF為∠BKD的平分線,故可設圓心M(t,0)(-1<t<1).M到l及BD的距離分別為3|t+1|/5,3|t-1|/4,二者相等得t=1/9,或t=9(舍).
    故圓M的半徑r=3|t+1|/5=2/3.所以所求圓的方程為(x-1/9)²+y²=4/9.
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