f(x)=x-(1/x)-alnx,求增區(qū)間.
第一步確定定義域x>0,因為一切討論都要在定義域內進行；
第二步求導：f '(x)=1+(1/x²)-a/x=(x²-ax+1)/x²；
第三步,考慮題目是要求增區(qū)間,因此令f '(x)=(x²-ax+1)/x²>0；
由于定義域是x>0,因此分母x²>0在定義域內恒成立,故可把分母去掉,只考慮分子的符號.
由于u(x)=x²-ax+1是一條開口朝上的拋物線,當其判別式△=a²-4≦0,即-2≦a≦2時,恒有
u(x)≧0對任何x>0都成立,因此當-2≦a≦2時f(x)在其定義域內都單調增.
當其判別式△=a²-4>0,即a2時,由u(x)=x²-ax+1={x-[a-√(a²-4)]/2}{x-[a+√(a²-4)]/2}>0
得0用f '(x)=0的零點來分類怎么做？在本題中，令f '(x)=(x²-ax+1)/x²={x-[a-√(a²-4)]/2}{x-[a+√(a²-4)]/2}/x²=0當△=a²-4≧0，即a≦-2或a≧2時，f '(x)=0會有兩個根，但要分兩種情況討論：(1)。a≧2時，f '(x)=0有二正根(零點)：x₁=a-√(a²-4)]/2，x₂=a+√(a²-4)]/2；此時，當00，即f(x)在這兩個區(qū)間內單調增；(2)。當a≦-2時，由于x₁和x₂都是負根，不在定義域內，在定義域內都有f '(x)>0，即在區(qū)間(0，+∞)內f(x)都單調增。當△=a²-4≦0，即-2≦a≦2時，對任何x恒有f '(x)≧0，即在其全部定義域內f(x)都單調增?！具@是方程f '(x)=0僅有兩個根的情況，比較簡單。若有三個及三個以上的根，則要用根軸法判定f '(x)的正負區(qū)間，使f '(x)≧0的區(qū)間就是f(x)的增區(qū)間；使f '(x)≦0的區(qū)間就是f(x)的減區(qū)間?！俊菊牡幕卮鹩忻。赫牡箶?shù)第三行：當△=a²-4>0，應該為當△=a²-4≧0；a<-2或a>2時f '(x)=0有二根(零點)，應改為a≧2時f '(x)=0有二正根：x₁=a-√(a²-4)]/2，x₂=a+√(a²-4)]/2；故當00，即f(x)在這兩個區(qū)間內單調增；再添上“當a≦-2時，由于x₁<0和x₂<0，都不在定義域內，故在定義域內都有f '(x)>0，即在區(qū)間(0，+∞)內f(x)都單調增”?！?div style="margin-top:20px">