首先,可知e^z-1的零點集合為{ 2kπi | k為整數},且易見這些零點都是1階的.
而z有唯一的零點z = 0,且顯然是1階零點.
于是,f(z) = 1/(z(e^z-1))的在復平面上極點集合也是{ 2kπi | k為整數},
其中z = 0為2階極點,其余點均為1階極點.
由e^x在x = 0處的冪級數展開易知:當x → 0時,有(e^x-1)/x → 1,(e^x-1-x)/x² → 1/2.
于是當z → 2kπi時,設x = z-2kπi可得(e^z-1)/(z-2kπi) = (e^x-1)/x → 1.
進而對k ≠ 0,有(z-2kπi)f(z) = 1/z·(z-2kπi)/(e^z-1) → 1/(2kπi)·1 = 1/(2kπi).
因此f(z)在z = 2kπi (k ≠ 0)處的留數為1/(2kπi).
而當z → 0時,有z²f(z) = z/(e^z-1) → 1,可知z = 0作為f(z)-1/z²的極點階數小于2.
又z(f(z)-1/z²) = 1/(e^z-1)-1/z = (z-e^z+1)/(z(e^z-1)) = -(e^z-1-z)/z²·z/(e^z-1) → -1/2,
可知z = 0作為f(z)-1/z²+1/(2z)的極點階數小于1,即為可去奇點.
這說明f(z)在z = 0處的Laurent展開的主部為1/z²-1/(2z),
因此f(z)在z = 0處的留數為-1/2.
最后,由于2kπi都是f(z)的極點,因此無窮遠點不是f(z)的孤立奇點.
注:對z = 0處留數的求法可能不太常規(guī)(只是個人偏好這種方法).
較為常規(guī)的做法大概是用lim{z → 0} (z²f(z))'來求.