先證明對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù),證明其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除.
證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0,1,2,不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜：[0],[1],[2]
①若這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中,我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè),其和必能被3整除.
②若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中,則其中必有一個(gè)抽屜,包含有3個(gè)余數(shù)（抽屜原理）,而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?,或?yàn)?,或?yàn)?,故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù).
③若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中,很顯然,必有3個(gè)自然數(shù)之和能被3整除.
∴對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù),其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除
設(shè)這11個(gè)整數(shù)為：a1,a2,a3……a11 又6=2×3①先考慮被3整除的情形
由上面知,在11個(gè)任意整數(shù)中,必存在：
3|a1+a2+a3,不妨設(shè)a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8個(gè)任意整數(shù)中,由上面,必存在：3 | a4+a5+a6.設(shè)a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5個(gè)任意整數(shù)中,有：3|a7+a8+a9,設(shè)：a7+a8+a9=b3
②再考慮b1、b2、b3被2整除.
依據(jù)抽屜原理,b1、b2、b3這三個(gè)整數(shù)中,至少有兩個(gè)是同奇或同偶,這兩個(gè)同奇（或同偶）的整數(shù)之和必為偶數(shù).不妨設(shè)2|b1+b2
則：6|b1+b2,即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11個(gè)整數(shù),其中必有6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù).
若為10個(gè)整數(shù),b3從剩下4個(gè)整數(shù)中不一定能找到三個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù),所以任意10個(gè)整數(shù)不一定有6個(gè)整數(shù)的和能被6整除