橢圓左焦點(diǎn)為(-√(9-b²),0),設(shè)過(guò)這點(diǎn)的直線AB方程為y=k[x+√(9-b²)] (k∈R)
則聯(lián)立兩方程消去y化簡(jiǎn)有(9k²+b²)x²+18k²√(9-b²)x+81k²-9k²b²-9b²=0
令A(yù)(x1,y1)、B(x2,y2),由Vieta定理知道x1+x2=-18k²√(9-b²)/(9k²+b²)
橢圓右準(zhǔn)線為x=9/√(9-b²)
設(shè)A、B到右準(zhǔn)線的距離分別是s1、s2,則|AF2|/s1=e,|BF2|/s2=e,其中離心率e=√(9-b²)/3
所以|AF2|+|BF2|=e(s1+s2)=e[2*9/√(9-b²)-x1-x2]=√(9-b²)/3*[18/√(9-b²)-x1-x2]=√(9-b²)/3*[18/√(9-b²)+18k²√(9-b²)/(9k²+b²)]=6+6k²(9-b²)/(9k²+b²)=6+6(9-b²)/(9+b²/k²)
因?yàn)閗∈R,所以當(dāng)k²增大時(shí),|AF2|+|BF2|也增大.
當(dāng)k→±∞時(shí),|AF2|+|BF2|達(dá)到最大值12-2b²/3